Tu as déjà entendu parler de la proportionnalité en cours de maths, mais ce n'est pas toujours facile de savoir quand l'utiliser et comment calculer. Pas de panique ! Dans cet article, on t'explique tout, pas à pas, avec des exemples concrets et des astuces pour calculer plus vite. À la fin, tu sauras reconnaître une situation de proportionnalité et résoudre tous les problèmes qui en découlent.
Qu'est-ce que la proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'une s'obtient en multipliant l'autre par un nombre toujours identique. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Exemple : si 1 stylo coûte 2 €, alors 2 stylos coûtent 4 €, 3 stylos coûtent 6 €, etc. Le prix est proportionnel au nombre de stylos. Le coefficient est 2 (le prix d'un stylo).
On peut représenter cela dans un tableau de proportionnalité :
- Nombre de stylos : 1 | 2 | 3 | 5
- Prix (en €) : 2 | 4 | 6 | 10
Pour passer de la première ligne à la deuxième, on multiplie toujours par 2. Pour passer de la deuxième à la première, on divise par 2.
Attention, toutes les situations ne sont pas proportionnelles ! Par exemple, la taille d'une personne n'est pas proportionnelle à son âge : un bébé de 1 an mesure environ 75 cm, mais à 2 ans il ne mesure pas 150 cm !
Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?
Il y a plusieurs méthodes :
- Méthode 1 : Vérifier si on passe d'une ligne à l'autre en multipliant (ou divisant) par le même nombre.
- Méthode 2 : Calculer les quotients des nombres de la deuxième ligne par ceux de la première. S'ils sont tous égaux, c'est proportionnel.
- Méthode 3 : Tracer un graphique : si les points sont alignés avec l'origine (0;0), alors c'est proportionnel.
Prenons un exemple :
Tableau :
- 3 | 5 | 8
- 12 | 20 | 32
On calcule les quotients : 12 ÷ 3 = 4 ; 20 ÷ 5 = 4 ; 32 ÷ 8 = 4. Tous égaux à 4, donc c'est proportionnel. Le coefficient est 4.
Autre exemple :
- 2 | 4 | 6
- 5 | 9 | 13
Quotients : 5 ÷ 2 = 2,5 ; 9 ÷ 4 = 2,25 ; 13 ÷ 6 ≈ 2,166... Pas égaux, donc ce n'est pas proportionnel.
Calculer avec la proportionnalité : méthodes pas à pas
1. Utiliser le coefficient de proportionnalité
Si tu connais le coefficient, tu peux trouver n'importe quelle valeur. Par exemple, si 1 kg de pommes coûte 2,50 €, combien coûtent 3 kg ?
Coefficient = 2,50. Donc 3 × 2,50 = 7,50 €.
Et pour 5 kg ? 5 × 2,50 = 12,50 €.
2. Utiliser la règle de trois (ou produit en croix)
Quand tu connais trois valeurs et que tu cherches la quatrième, tu peux utiliser le produit en croix.
Exemple : 4 stylos coûtent 6 €. Combien coûtent 7 stylos ?
On pose le tableau :
- 4 | 7
- 6 | ?
On multiplie en croix : 4 × ? = 6 × 7, donc 4 × ? = 42, donc ? = 42 ÷ 4 = 10,5 €.
Vérification : 10,5 ÷ 7 = 1,5 ; 6 ÷ 4 = 1,5. Le coefficient est bien 1,5.
3. Passer par l'unité
On cherche la valeur pour une unité, puis on multiplie.
Exemple : 5 cahiers coûtent 7,50 €. Combien coûtent 8 cahiers ?
Prix d'un cahier : 7,50 ÷ 5 = 1,50 €. Puis 8 × 1,50 = 12 €.
4. Utiliser les propriétés de linéarité
Si on ajoute deux quantités, on ajoute les prix. Si on multiplie par un nombre, on multiplie le prix.
Exemple : 2 kg de cerises coûtent 10 €. Combien coûtent 6 kg ?
6 kg = 2 kg × 3, donc prix = 10 € × 3 = 30 €.
Autre exemple : 3 kg coûtent 15 €, 4 kg coûtent 20 €. Alors 7 kg (3+4) coûtent 15+20 = 35 €.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre proportionnalité et addition : Si 2 gâteaux coûtent 4 €, 4 gâteaux ne coûtent pas 6 € (on n'ajoute pas 2 €), mais 8 € (on multiplie par 2).
- Oublier de vérifier si c'est proportionnel : Dans certains problèmes, il y a des frais fixes. Par exemple, un abonnement de 10 € puis 2 € par film : ce n'est pas proportionnel.
- Se tromper dans le produit en croix : Il faut bien multiplier les bonnes cases. Dispose toujours ton tableau avec les mêmes unités sur la même ligne.
- Mal placer la virgule : Vérifie l'ordre de grandeur. Si 3 kg coûtent 7,5 €, 5 kg doivent coûter environ 12 €, pas 1,2 €.
Astuces pour calculer mentalement
- Simplifier les calculs : Si tu dois multiplier par 0,5, divise par 2. Par 0,25, divise par 4.
- Utiliser les nombres ronds : 10 %, c'est diviser par 10. 50 %, c'est diviser par 2.
- Décomposer : Pour 7 × 2,50, fais 7 × 2 + 7 × 0,50 = 14 + 3,50 = 17,50.
- Vérifier avec l'unité : Si tu trouves un prix plus élevé pour une quantité plus petite, il y a une erreur.
Conclusion
La proportionnalité est partout : dans les recettes de cuisine, les soldes, les vitesses, les échelles... Avec un peu d'entraînement, tu la maîtriseras sans problème. N'hésite pas à t'exercer avec des exercices corrigés et à utiliser notre calculatrice en ligne pour vérifier tes résultats. Et si tu veux approfondir, consulte nos cours détaillés. Pour le brevet, retrouve des fiches sur allobrevet.fr, et pour le bac, c'est sur allobac.fr !