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Du paradoxe de Monty Hall au problème des 7 ponts de Königsberg, testez votre logique avec ces casse-têtes légendaires.

Les mathématiques regorgent d'énigmes fascinantes qui ont parfois mis des siècles à être résolues. En voici sept qui vont mettre votre cerveau à l'épreuve !

1. Le paradoxe de Monty Hall

Vous êtes dans un jeu télévisé face à trois portes. Derrière l'une se cache une voiture, derrière les deux autres, des chèvres. Vous choisissez une porte. L'animateur, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte révélant une chèvre. Il vous propose de changer de porte. Que faites-vous ?

Solution : Changez TOUJOURS ! En changeant, vous avez 2/3 de chances de gagner. En restant, seulement 1/3. Contre-intuitif, mais mathématiquement prouvé !

2. Les 7 ponts de Königsberg

Au XVIIIe siècle, les habitants de Königsberg se demandaient s'il était possible de traverser les 7 ponts de leur ville exactement une fois chacun et de revenir au point de départ.

Solution : Euler prouva en 1736 que c'est impossible ! Pour qu'un tel parcours existe, il faut que chaque zone ait un nombre pair de ponts. Königsberg avait 4 zones avec un nombre impair de ponts.

Cette démonstration donna naissance à la théorie des graphes, aujourd'hui essentielle en informatique.

3. Le problème des anniversaires

Dans un groupe de combien de personnes y a-t-il plus de 50% de chances que deux personnes partagent le même anniversaire ?

Solution : Seulement 23 personnes ! À 50 personnes, la probabilité monte à 97%. Ce résultat surprenant illustre notre mauvaise intuition des probabilités.

4. Le problème des 100 prisonniers

100 prisonniers doivent trouver leur numéro dans 100 boîtes, chacun ayant droit à 50 essais. S'ils décident d'une stratégie ensemble avant, peuvent-ils tous réussir ?

Solution : Oui, avec 31% de chances ! Chaque prisonnier suit une "chaîne" : il ouvre la boîte de son numéro, puis celle du numéro trouvé, etc. La stratégie aléatoire ne donnerait que 0.0000...8% de chances.

5. Le paradoxe de Zénon : Achille et la tortue

Achille court 10 fois plus vite qu'une tortue qui a 100 mètres d'avance. Quand Achille atteint les 100m, la tortue est à 110m. Quand il atteint 110m, elle est à 111m... Achille ne rattrapera-t-il jamais la tortue ?

Solution : Bien sûr que si ! La somme infinie 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... converge vers 111.11m. Achille dépasse la tortue après avoir parcouru environ 111 mètres. Les séries convergentes résolvent ce paradoxe.

6. Le problème de Josephus

41 soldats sont en cercle. En partant du premier, on élimine un soldat sur deux jusqu'à ce qu'il n'en reste qu'un. À quelle position faut-il se placer pour survivre ?

Pour n soldats, la position gagnante est :
J(n) = 2L + 1
où n = 2^m + L avec L < 2^m

Pour 41 : 41 = 32 + 9
J(41) = 2×9 + 1 = 19

Solution : Position 19. Ce problème porte le nom de l'historien Flavius Josèphe qui aurait utilisé ce calcul pour survivre lors du siège de Jotapata.

7. L'énigme d'Einstein

5 maisons de couleurs différentes, 5 propriétaires de nationalités différentes, avec chacun une boisson, un animal et des cigarettes préférés. Avec 15 indices, qui possède le poisson ?

Solution : L'Allemand ! Cette énigme de logique se résout par élimination successive. On dit qu'Einstein affirmait que seuls 2% des gens peuvent la résoudre.

Conclusion

Ces énigmes montrent que les mathématiques ne sont pas qu'une affaire de calcul, mais aussi de logique, de créativité et parfois de remise en question de nos intuitions. Laquelle vous a le plus surpris ?

Logique Paradoxes Casse-têtes Réflexion

À propos de Prof. Martin

Agrégé de Mathématiques

Enseignant depuis 15 ans, Martin cherche à rendre les maths accessibles et ludiques pour tous.

2 Commentaires

Léa_MathsIl y a 2 heures

Super article ! J'ai appris plein de choses.

Enzo_3eIl y a 1 jour

C'est passionnant, j'en veux plus !

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